Question

【題目】如圖，已知長方形紙片ABCD，AB=4，BC=10，M是BC的中點，點P沿折線BA—AD運動，以MD為折癟將長方形紙片向右翻折，使點B落在長方形的AD邊上，則折痕MP的長______.

Answer 1

【答案】或或4

【解析】

分三種情況進行討論：①點B′落在AB邊上，②點B′落在AD邊上，③點B′與點C重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，分別畫出圖形進行求解．

解：①如圖，當點B′落在AB邊上時，過M作ME⊥AD于E，可得四邊形ABME為矩形，

∴EM＝AB＝4，AE＝BM，
又∵BC＝10，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M＝BM＝AE＝5，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E＝，
∴AB′＝AEB′E＝2，
設(shè)BP＝x，則AP＝4x，PB′＝x，
在Rt△PAB′中，根據(jù)勾股定理得：PB′＝AP＋AB′，
即x＝(4x)＋2，
解得x＝，
∴PB＝，

在Rt△BMP中，根據(jù)勾股定理得：PM＝；
②如圖，當點B′落在AD邊上時，過M作ME⊥AD于E，可得四邊形ABME為矩形，

∴EM＝AB＝4，
又∵BC＝10，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M＝BM＝5，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E＝
由AD∥BC可得，∠DPM＝∠BMP，
由折疊可得，∠PMB′＝∠BMP，
∴∠DPM＝∠PMB′，
∴B′M＝B′P＝5，
∴PE＝53＝2，
在Rt△PEM中，根據(jù)勾股定理得：PM＝；
③如圖，當點B′與點C重合時，由∠A＝∠B＝∠BMP＝90°，可得四邊形ABMP為矩形，

此時，PM＝AB＝4．
綜上所述，折痕MP的長為：或或4．
故答案為：或或4.