Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是一元二次方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）在此拋物線上求點(diǎn)P，使S_△ABP=8．

Answer 1

分析：（1）先求出一元二次方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△ABP=8可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)P點(diǎn)在拋物線上即可得出其橫坐標(biāo)，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴

c=3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S_△ABP=8，

1

2

AB•|b|=8，
解得|b|=4，
∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴當(dāng)b=4時(shí)，即-a²+2a+3=4，解得a=1；
當(dāng)b=-4時(shí)，即-a²+2a+3=-4，解得a=1+2

2

或a=1-2

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（1，4），P₂（1+2

2

，-4），P₃（1-2

2

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)及用到定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)題意求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．