Question

我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果我們對四邊形ABCD的對角線AC與BD添加一定的條件，則可使四邊形EFGH成為特殊的平行四邊形，請你經(jīng)過探究后直接填寫答案：
①當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為

 

；
②當(dāng)AC

 

BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；
③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是正方形．

解答：解：（1）連接AC、BD，
因?yàn)镠、G，分別為AD、DC的中點(diǎn)，
所以HG∥AC，
同理EF∥AC，
所以HG∥EF；
同理可知HE∥GF．
于是四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）由于對角線相等，
因?yàn)镠，G，分別為AD、DC的中點(diǎn)，
所以HG=

1

2

AC，
同理EF=

1

2

AC，
所以HG=EF；
同理可知HE=

1

2

BD，
GF=

1

2

BD．
又因?yàn)锳C=BD
所以HE=EF=FG=GH．
又因?yàn)槭撬倪呅蜤FGH是平行四邊形．
所以四邊形EFGH為菱形．

（3）由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；

（4）由于四邊形EFGH是平行四邊形．
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，
HE⊥EF，
故四邊形EFGH為矩形；
AC=BD時(shí)，
四邊形EFGH為正方形．

點(diǎn)評：根據(jù)三角形的中位線定理證明：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形．