Question

有n個數，第一個記為a₁，第二個記為a₂；…，第n個記為a_n，若 a₁=

1

2

，且從第二個數起，每個數都等于“1與它前面那個數的差的倒數”．
（1）則a₂=

2

；a₃=

-1

；a₄=

1

2

．
（2）根據（1）的計算結果，猜想a₂₀₀₅=

1

2

；a₂₀₀₆=

2

；
（3）計算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆的值．

Answer 1

分析：（1）根據倒數的定義得到a₂=

1

1- 1 2

=2；  a₃=

1

1-2

=-1；a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）根據（1）中計算結果發(fā)現從第四個開始循環(huán)出現前面的三個數，由于2005=3×668+1，則a₂₀₀₅=a₁，a₂₀₀₆=a₂；
（3）根據數列的規(guī)律得到a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

1

2

×2×（-1）×

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2，從開始每三個數一組共有668組，外加后面

1

2

×2，
由于每組數的積為-1，由此得到a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=1．

解答：解：（1）a₂=

1

1- 1 2

=2；  a₃=

1

1-2

=-1；a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）∵2005=3×668+1，
∴a₂₀₀₅=a₁=

1

2

；a₂₀₀₆=a₂=2；
（3）a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

1

2

×2×（-1）×

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2=

(-1)×…×(-1)

668個-1相乘

×1=1．
故答案為2，-1，

1

2

；

1

2

，2．

點評：本題考查了規(guī)律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．