Question

如圖，B，C，D是⊙O上的三點，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，OB=6cm．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求由弦CD、BD與所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四邊形ABDC為平行四邊形，則∠A=∠D=30°，由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由內(nèi)角和定理可求∠OCA=90°，證明切線；
（2）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉(zhuǎn)化為求扇形OBC的面積．
解答：（1）證明：連接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，（1分）
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又AC∥BD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，
∴AC是⊙O的切線；（2分）

（2）解：易證△OEB≌△CED，
∴S_陰影=S_扇形BOC（2分）
∴S_陰影==6π．（3分）
答：陰影部分的面積是6π．
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積的計算．關(guān)鍵是連接OC，利用內(nèi)角和定理，三角形全等的知識解題．