Question

（2012•畢節(jié)地區(qū)）如圖，直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），l₁、l₂均為與y軸交于點(diǎn)C（0，-

3

），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸依次與x軸交于點(diǎn)D、與l₂交于點(diǎn)E、與拋物線交于點(diǎn)F、與l₁交于點(diǎn)G．求證：DE=EF=FG；
（3）若l₁⊥l₂于y軸上的C點(diǎn)處，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，要使△PCG為等腰三角形，請(qǐng)寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）D、E、F、G四點(diǎn)均在對(duì)稱軸x=1上，只要分別求出其坐標(biāo)，就可以得到線段DE、EF、FG的長(zhǎng)度．
D是對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線頂點(diǎn)，其坐標(biāo)易求；E是對(duì)稱軸與直線l₂交點(diǎn)，需要求出l₂的解析式，G是對(duì)稱軸與l₁的交點(diǎn)，需要求出l₁的解析式，而A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以l₁、l₂的解析式可以用待定系數(shù)法求出．至此本問解決；
（3）△PCG為等腰三角形，需要分三種情況討論．如解答圖所示，在解答過程中，充分注意到△ECG為含30度角的直角三角形，△P₁CG為等邊三角形，分別利用其幾何性質(zhì)，則本問不難解決．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-

3

）三點(diǎn)，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，解得a=

3

3

，b=-

2

3

3

，c=-

3

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

．

（2）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，由題意可知，直線l₁經(jīng)過A（-1，0），C（0，-

3

）兩點(diǎn)，
∴

-k+b=0 b=- 3

，解得k=-

3

，b=-

3

，∴直線l₁的解析式為：y=-

3

x-

3

；
直線l₂經(jīng)過B（3，0），C（0，-

3

）兩點(diǎn)，同理可求得直線l₂解析式為：y=

3

3

x-

3

．
∵拋物線y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

=

3

3

（x-1）²-

4

3

3

，
∴對(duì)稱軸為x=1，D（1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，-

4

3

3

）；
點(diǎn)E為x=1與直線l₂：y=

3

3

x-

3

的交點(diǎn)，令x=1，得y=-

2

3

3

，∴E（1，-

2

3

3

）；
點(diǎn)G為x=1與直線l₁：y=-

3

x-

3

的交點(diǎn)，令x=1，得y=-2

3

，∴G（1，-2

3

）．
∴各點(diǎn)坐標(biāo)為：D（1，0），E（1，-

2

3

3

），F(xiàn)（1，-

4

3

3

），G（1，-2

3

），它們均位于對(duì)稱軸x=1上，
∴DE=EF=FG=

2

3

3

．

（3）如右圖，過C點(diǎn)作C關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)P₁，CP₁交對(duì)稱軸于H點(diǎn)，連接CF．
△PCG為等腰三角形，有三種情況：
①當(dāng)CG=PG時(shí)，如右圖，由拋物線的對(duì)稱性可知，此時(shí)P₁滿足P₁G=CG．
∵C（0，-

3

），對(duì)稱軸x=1，∴P₁（2，-

3

）．
②當(dāng)CG=PC時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)在拋物線上，且CP的長(zhǎng)度等于CG．
如右圖，C（0，-

3

），H點(diǎn)在x=1上，∴H（1，-

3

），
在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y_G-y_H|=|-2

3

-（-

3

）|=

3

，
∴由勾股定理得：CG=

12+( 3 )2

=2．
∴PC=2．
如右圖，CP₁=2，此時(shí)與①中情形重合；
又Rt△OAC中，AC=

12+( 3 )2

=2，∴點(diǎn)A滿足PC=2的條件，但點(diǎn)A、C、G在同一條直線上，所以不能構(gòu)成等腰三角形．
③當(dāng)PC=PG時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)位于線段CG的垂直平分線上．
∵l₁⊥l₂，∴△ECG為直角三角形，
由（2）可知，EF=FG，即F為斜邊EG的中點(diǎn)，
∴CF=FG，∴F為滿足條件的P點(diǎn)，∴P₂（1，-

4

3

3

）；
又cos∠CGE=

CG

EG

=

3

2

，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，
又P₁C=CG，∴△P₁CG為等邊三角形，
∴P₁點(diǎn)也在CG的垂直平分線上，此種情形與①重合．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（2，-

3

）或P₂（1，-

4

3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：作為中考?jí)狠S題，本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）解析式、等腰三角形、等邊三角形以及勾股定理等．難點(diǎn)在于第（3）問，需要針對(duì)等腰三角形△PCG的三種可能情況分別進(jìn)行討論，在解題過程中，需要充分挖掘并利用題意隱含的條件（例如直角三角形、等邊三角形），這樣可以簡(jiǎn)化解答過程．