Question

已知：點P是x軸負半軸上的一點，點A（4，0）在x軸上，點B在y軸的正半軸上，直線AB切⊙P于點D．⊙P的半徑為15，AP與⊙P交于點C，PO-2OC=9．
求：（1）點P的坐標和AP的長；
（2）直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）當點C在線段PO上時，（如圖一），
∵⊙P的半徑為9，∴PC=15，∴PO-OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=21，OC=6，
∴點P（-21，0）…
∵點A（4，0），∴AP=25．…
當點C在線段AO上時（如圖二），
∵⊙P的半徑為9，∴PC=15，∴PO+OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=13，OC=2，
∴點P（-13，0）…
∵點A（4，0），∴AP=17．…

（2）當點C在線段PO上時，連接PD（如圖一），
∵AB切⊙P于點D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=25，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=20． …
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：20=OB：15，∴OB=3，…
∴可以求得切線AB的函數(shù)解析式為y=-x+3． …
當點C在線段AO上時，連接PD（如圖二），
∵AB切⊙P于點D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=17，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=8．…
∵△ABO∽△APD，
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：8=OB：15，∴OB=，…
∴可以求得切線AB的函數(shù)解析式為y=-x+． …
分析：（1）當點C在線段PO上時（如圖一），有PO-OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程組可求PO，從而確定點P的坐標和AP的長，當點C在線段AO上時（如圖二），有PO+OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程組可求PO，從而確定點P的坐標和AP的長；
（2）根據(jù)（1）的兩種情況，連接PD，分別在Rt△APD中，由勾股定理求AD，由△ABO∽△APD，利用相似比求OB，確定B點坐標，根據(jù)A、B兩點坐標求直線AB的解析式．
點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是點C的位置分類，由勾股定理，相似三角形求B點坐標，確定直線AB的解析式．