Question

如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，

　 BM^直線a于點M，CN^直線a于點N，連接PM、PN；

　 (1) 延長MP交CN于點E(如圖2)。j 求證：△BPM@△CPE；k 求證：PM = PN；

　 (2) 若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時

　　 PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

　 (3) 若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時，其它條件不變。請直接判斷四邊形MBCN

　　 的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由。

Answer 1

 (1) 證明：j 如圖2，∵BM^直線a于點M，CN^直線a于點N，

              ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

              又∵P為BC邊中點，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

            k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

              ∴PM=PN；

   (2) 成立，如圖3，

      證明 延長MP與NC的延長線相交于點E，∵BM^直線a于點M，CN^直線a于點N，

            ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

            又∵P為BC中點，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

            ∴PM=ME，則在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

   (3) 四邊形MBCN是矩形，PM=PN成立。