Question

如圖，一元二次方程x²-2x-3=0的兩根x₁，x₂是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為B′．問：是否存在△BCB′為等腰三角形的情形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件c的值；若不存在，請(qǐng)直接作否定的判斷，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得一元二次方程的兩根，那么就得到了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的對(duì)稱軸為兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和的一半；
（2）注意兩條邊相等應(yīng)分情況探討．

解答：解：（1）∵解一元二次方程x²-2x-3=0的兩根x₁=-1，x₂=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
拋物線的對(duì)稱軸x=1；

（2）由已知得B′（-5，0），C（0，c）且C為y軸上的點(diǎn)，B′O＞BO，則不可能有
CB′=CB的情形；
若BB′=BC，則有8=

32+c2

，則c=

55

或-

55

（舍去），∴c=

55

；
若BB′=B′C，則有8=

52+c2

，則c=

39

或-

39

（舍去），∴c=

39

，
∴存在滿足上述條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和構(gòu)成三角形的判定法．