如圖，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠B=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A，B，O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括O，B點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及四邊形ABCO的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=
3
，
過點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，
則OD=
3
cos30°=
3
2
，BD=
1
2
BO=
3
2
，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（
3
2
，
3
2
）；

（2）將A（2，0）、B（
3
2
，
3
2
）、O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，
得：
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0
，
解方程組，
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0
，
∴所求二次函數(shù)解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x；

（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，-
2
3
3
x2+
4
3
3
x）（其中0＜x＜
3
2
），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，
只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．
過點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，
則S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|•|OE|+
1
2
|CF|•|ED|=
1
2
|CF|•|OD|=
3
4
|CF|，
而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x，
∴S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x，
∴當(dāng)x=
3
4
時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為
9
3
32
．
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（
3
4
，
5
3
8
），
故四邊形ABCO的最大面積為：
25
3
32
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A（4，0）、B（-2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BP2=BD•BC；
（3）當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，一單杠高2.2m，兩立柱間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與鐵杠的結(jié)合處A、B，繩子自然下垂，雖拋物線狀，一個(gè)身高0.7m的小孩站在距立柱0.4m處，其頭部剛好觸上繩子的D處，求繩子的最低點(diǎn)O到地面的距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)C，與拋物線y=ax2+ax+b交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（-3，1），拋物線與y軸交點(diǎn)D（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

某幢建筑物，從10m高的窗口A，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀（拋物線所在的平面與墻面垂直，如圖，如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1m，離地面
40
3
m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是（　　）
A．2mB．3mC．4mD．5m

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A（-4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足S△AOP=8，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

課題研究：現(xiàn)有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
初三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對(duì)水槽的橫截面進(jìn)行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．
若∠ACB=90°，設(shè)AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．
若∠ABC=120°，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小；
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供兩種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大．畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=-2x+3與拋物線y=x2相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)y=x2-kx+3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C，并與x軸相交于A、B，且AB=4，
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若P是上述拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（除點(diǎn)C外），求使S△ABP=S△ABC成立的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊答案