如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F(xiàn)為AD的中點,CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)當(dāng)α=60°時,求CE的長;
(2)當(dāng)60°<α<90°時,
①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時,求tan∠DCF的值.
(1) 5;(2) k=3,.
解析試題分析:(1)利用60°角的正弦值列式計算即可得解;
(2)①連接CF并延長交BA的延長線于點G,利用“角邊角”證明△AFG和△DFC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF,再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF,然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,從而得解;
②設(shè)BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的長度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,從而得到CF2,然后相減并整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.
試題解析:(1)∵=60°,BC=10,
∴sin=,
即sin60°=,解得CE=5;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.理由如下:
連接CF并延長交BA的延長線于點G,
∵F為AD的中點,
∴AF=FD,
在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,
∴∠G=∠DCF,
在△AFG和△DFC中,
,
∴△AFG≌△DFC,
∴CF=GF,AG=CD,
∵CE⊥AB,
∴EF=GF,
∴∠AEF=∠G,
∵AB=5,BC=10,點F是AD的中點,
∴AG=5,AF=AD=BC=5,
∴AG=AF,
∴∠AFG=∠G,
在△EFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,
∴∠CFD=∠AEF,
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整數(shù)k=3,使得∠EFD=3∠AEF;
②設(shè)BE=x,∵AG=CD=AB=5,
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2,
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x,
∵由①知CF=GF,
∴CF2=(CG)2=CG2=(200-20x)=50-5x,
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x-)2+50+,
∴當(dāng)x=,即點E是AB的中點時,CE2-CF2取最大值,此時,EG=10-x=10-=,
CE=,
所以,tan∠DCF=tan∠G=
考點: 1.平行四邊形的性質(zhì);2.二次函數(shù)的最值;3.勾股定理.
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如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OCBA的頂點A,C分別在y軸,x軸上,點B坐標(biāo)為(6,6),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A,B兩點,且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果動點E,F(xiàn)同時分別從點A,點B出發(fā),分別沿A→B,B→C運動,速度都是每秒1個單位長度,當(dāng)點E到達終點B時,點E,F(xiàn)隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒,△EBF的面積為S.
①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②當(dāng)S取得最大值時,在拋物線上是否存在點R,使得以E,B,R,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出點R的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點,已知BC∥x軸,點A在x軸上,點C在y軸上,且AC=BC.
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)寫出A,B,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式.
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已知:如圖①,在平行四邊形ABCD中,AB=12,BC=6,AD⊥BD.以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED,∠EAD=30°,∠AED=90°.
(1)求△AED的周長;
(2)若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動,得到△A0E0D0,當(dāng)A0D0與BC重合時停止移動,設(shè)運動時間為t秒,△A0E0D0與△BDC重疊的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)如圖②,在(2)中,當(dāng)△AED停止移動后得到△BEC,將△BEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°),在旋轉(zhuǎn)過程中,B的對應(yīng)點為B1,E的對應(yīng)點為E1,設(shè)直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q.是否存在這樣的α,使△BPQ為等腰三角形?若存在,求出α的度數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我區(qū)某房地產(chǎn)開發(fā)公司于2013年5月份完工一商品房小區(qū),6月初開始銷售,其中6月的銷售單價為0.7萬元/m2,7月的銷售單價為0.72萬元/m2,且每月銷售價格(單位:)與月份x(6≤x≤11,x為整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,每月的銷售面積為(單位:),其中y2=-2000x+26000(6≤x≤11,x為整數(shù)).
(1)求與月份的函數(shù)關(guān)系式;
(2)6~11月中,哪一個月的銷售額最高?最高銷售額為多少萬元?
(3)2013年11月時,因受某些因素影響,該公司銷售部預(yù)計12月份的銷售面積會在11月銷售面積基礎(chǔ)上減少,于是決定將12月份的銷售價格在11月的基礎(chǔ)上增加,該計劃順利完成.為了盡快收回資金,2014年1月公司進行降價促銷,該月銷售額為(1500+600a)萬元.這樣12月、1月的銷售額共為萬元,請根據(jù)以上條件求出的值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎,每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完,該公司的年產(chǎn)量為6千件,若在國內(nèi)市場銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y1(元)與國內(nèi)銷售數(shù)量x(千件)的關(guān)系為:y1=若在國外銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y2(元)與國外的銷售數(shù)量t(千件)的關(guān)系為: y2=
(1)用x的代數(shù)式表示t,則t=__________;當(dāng)0<x≤3時,y2與x的函數(shù)關(guān)系式為:y2=__________________;當(dāng)3≤x<________時,y2=100;
(2)當(dāng)3≤x<6時,求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w(千元)與國內(nèi)的銷售數(shù)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式,并求此時的最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某職業(yè)學(xué)校三名學(xué)生到某超市參加了社會實踐活動,在活動中他們參與了某種水果的銷售工作,已知該水果的進價為8元/千克,下面是他們在活動結(jié)束后的對話。
A:如果以10元/千克的價格銷售,那么每天可售出300千克.
B:如果以13元/千克的價格銷售,那么每天可獲取利潤750元.
C:通過調(diào)查驗證,我發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(千克)與銷售單價x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)銷售單價為何值時,該超市銷售這種水果每天獲取的利潤達到600元?【利潤=銷售量×(銷售單價-進價)】
(3)一段時間后,發(fā)現(xiàn)這種水果每天的銷售量均不低于225千克.則此時該超市銷售這種水果每天獲取的最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某相宜本草護膚品專柜計劃在春節(jié)前夕促銷甲、乙兩款護膚品,根據(jù)市場調(diào)研,發(fā)現(xiàn)如下兩種信息:
信息一:銷售甲款護膚品所獲利潤y(元)與銷售量x(件)之間存在二次函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx.在x=10時,y=140;當(dāng)x=30時,y=360.
信息二:銷售乙款護膚品所獲利潤y(元)與銷售量x(件)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y=3x.請根據(jù)以上信息,解答下列問題;
(1)求信息一中二次函數(shù)的表達式;
(2)該相宜本草護膚品專柜計劃在春節(jié)前夕促銷甲、乙兩款護膚品共100件,請設(shè)計一個營銷方案,使銷售甲、乙兩款護膚品獲得的利潤之和最大,并求出最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,正方形OABC的邊長為2cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線經(jīng)過點A、B和D(4,).
(1)求拋物線的表達式.
(2)如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動,同時點Q由點B出發(fā),沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動,當(dāng)其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動.設(shè)S=PQ2(cm2).
①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
②當(dāng)S取時,在拋物線上是否存在點R,使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
(3)在拋物線的對稱軸上求點M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點M的坐標(biāo).
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