Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中，A（10，0），B（8，6），直線x=4與直線AC交于P點(diǎn)，與x軸交于H點(diǎn)；
（1）直接寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AC的解析式；
（2）求出線段PH的長(zhǎng)度，并在直線AC上找到Q點(diǎn)，使得△PHQ的面積為△AOC面積的，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）M點(diǎn)是直線AC上除P點(diǎn)以外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在N點(diǎn)，使得△MHN為等腰直角三角形？若有，請(qǐng)求出M點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）作CE⊥OA于點(diǎn)E，BF⊥OA于F，
∴∠CEO=∠BFA=90°，CE∥BF，
∴OA∥BC，
∴四邊形ECBF是平行四邊形，
∴CE=BF．
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴OC=AB，
∴△OEC≌△AFB，
∴OE=AF，
∵A（10，0），B（8，6），
∴0A=10，OF=8，BF=6，
∴OE=2
∴C（2，6）
∵直線AC過(guò)點(diǎn)A（10，0），C（2，6），
設(shè)直線AC解析式為：y=kx+b（k≠0）
根據(jù)題意得：
解得：k=，b=，
∴直線AC：y=x+
（2）將x=4代入上述解析式，y=，即PH=
∵Q點(diǎn)在直線AC上，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+）
由題知：PH|t﹣4|=×OA|yC|，
解得t=或，
即滿足題意的Q點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Q₁（，）或Q₂（，）  
（3）存在滿足題意的M點(diǎn)和N點(diǎn)．
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a+），當(dāng)a＞10時(shí)，無(wú)滿足題意的點(diǎn)；
①若∠MNH=90°，則MN=HN，即a+=|a﹣4|，
解得a=或﹣14，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（﹣14，18）；                  
②若∠HMN=90°，則過(guò)M作MM′⊥x軸交于M′點(diǎn)，則H M′=M′N=M M′，綜上，當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為N₁（，0）或N₂（，0）；當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣14，18）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為N₃（﹣14，0）或N₄（﹣32，0）