Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)(-1,0)、(3,0)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.

【小題1】求拋物線解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
【小題2】如圖，過點(diǎn)E作BC平行線，交軸于點(diǎn)F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：             ．
【小題3】將拋物線向下平移，與軸交于點(diǎn)M、N，與軸的正半軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為Q.在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ = S_△MNP，求此時(shí)直線PN的解析式

Answer 1

【小題1】將(-1,0)、(3,0)代入的得到，，
∴拋物線的解析式為，即.
∴ 拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．-------------------------3分
【小題2】△BCF與△BCE               -------------------------1分
【小題3】將拋物線向下平移，則頂點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，有，------1分
∴ 拋物線的解析式為（）．
∴ 此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．
∵ 方程的兩個(gè)根為，，
∴ 此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，．
如圖，過點(diǎn)Q作QG∥PN與軸交于點(diǎn)G，連接NG，則S_△PNG= S_△PNQ．
∵ S_△NPQ = S_△MNP,
∴S_△MNP = S_△PNG．              -------------------------1分

∴ ．
設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，
則．
由QG∥PN，得．
∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．
∴ ．結(jié)合題意，解得 ．
∴ 點(diǎn)，．
設(shè)直線PN的解析式為y=mx+n，將P， N兩點(diǎn)代入，得到
直線PN的解析式為 ； --------3分解析:
（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線方程中，求出它的解析式；
（2）  利用同底等高的兩個(gè)三角形面積相等這個(gè)性質(zhì)；
過Q點(diǎn)作QG∥PN與X軸交于點(diǎn)G，連接NG,利用等量代換推出S_△MNP = S_△PNG．得出DG的長(zhǎng)，利用Rt△QDG ∽ Rt△PON求出P、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線PN的解析式。