Question

如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上從點(diǎn)A向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在直線(xiàn)OB 上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN．
（1）求當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值．
（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；
（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt△AOB 內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（4）在（3）中，設(shè)PN與EC的交點(diǎn)為R，是否存在點(diǎn)R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)，
MP⊥AB，∵∠A=60°，∴AP=4，∴。（2分）

（2）∵AP=，∴BP=
又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°
tan∠B=
∴，即等邊△PMN的邊長(zhǎng)為.（4分）
（3）①當(dāng)時(shí)，如圖AP=，∴

∴，∴，
∴.
過(guò)F作FQ⊥0B于Q，則QN=4，∴EF=OQ=.
等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積，設(shè)為S_1，
∴
∵＞0，∴S₁隨t的增大而增大，
∴t=1時(shí)，，∴S₁的最大值為.（7分）
②當(dāng)＜t＜2時(shí)，如圖

在△EGK中，GE=，∴EK=，
∴S_△GEK=.
∴等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為四邊形EFNO的面積與△EGK的面積差，設(shè)為S₂，
∴.
∵，對(duì)稱(chēng)軸為，
∴時(shí)，的最大值為.（9分）
當(dāng)時(shí)，。
綜上可知：當(dāng)時(shí)，S的最大值為.（10分）
（4）過(guò)R作RH⊥OB于H，RH=，HN=4，

OH=，OD=12，DH=，
①OR=OD=12時(shí)，，
∴，，∴＞2，不合題意舍去。
②DR=OD=12時(shí)，，
∴，∴＞2，或＜0，都不合題意舍去。
③OR=DR時(shí)，H為CD中點(diǎn)，OH=6，∴，∴。
綜上所述，時(shí)，△ODR是等腰三角形。（12分）

（1）利用直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半即可求出AP，進(jìn)而求出t的值；
（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的長(zhǎng)，再利用解直角三角形求出PN的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)當(dāng)0≤t≤1時(shí)以及當(dāng)t=1時(shí)和當(dāng)t=2時(shí)，分別求出S的值；
（4）根據(jù)當(dāng)D為頂點(diǎn)，OD=OR₁=6時(shí)，當(dāng)R₂為頂點(diǎn)，OR₂=DR₂時(shí)，③當(dāng)O為等腰△的頂點(diǎn)時(shí)，分別得出即可