(2012•岳陽(yáng))如圖,△ABC中,AB=AC,D是AB上的一點(diǎn),且AD=
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AB,DF∥BC,E為BD的中點(diǎn).若EF⊥AC,BC=6,則四邊形DBCF的面積為
15
15
分析:過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC,垂足為G,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC,垂足為H,根據(jù)題意設(shè)BE=DE=x,則AD=AF=4x,由DG∥EF,利用平行線分線段成比例求FG,由DF∥BC得△ADF∽△ABC,利用相似比求DF,同時(shí)可得∠DFG=∠C,易證Rt△DFG∽R(shí)t△ACH,利用相似比求x,在Rt△ABH中,用勾股定理求AH,計(jì)算△ABC的面積,由△ADF∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)求△ADF的面積,作差求四邊形DBCF的面積.
解答:解:如圖,過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC,垂足為G,過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC,垂足為H,
∵E為BD的中點(diǎn),且AD=
2
3
AB,
∴可設(shè)BE=DE=x,則AD=AF=4x,
∵DG⊥AC,EF⊥AC,
∴DG∥EF,
AE
AF
=
DE
FG
,即
5x
4x
=
x
FG
,解得FG=
4
5
x,
∵DF∥BC,∴△ADF∽△ABC,
DF
BC
=
AD
AB
,即
DF
6
=
4x
6x
,
解得DF=4,
又∵DF∥BC,∴∠DFG=∠C,
∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH,
DF
AC
=
FG
CH
,即
4
6x
=
4
5
x
3
,
解得x2=
5
2
,
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH=
AB2-BH2
=
36x2-32
=9,
則S△ABC=
1
2
×BC×AH=
1
2
×6×9=27,
又∵△ADF∽△ABC,∴
S△ADF
S△ABC
=(
DF
BC
2=
4
9
,
S△ADF=
4
9
×27=12,
∴S四邊形DBCF=S△ABC-S△ADF=27-12=15,
故答案為:15.
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理.關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線,構(gòu)造相似三角形,利用相似比解題.
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2
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1
2
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