Question

已知m，n（m＞n）是正整數(shù)．
（1）若3^m與3ⁿ的末位數(shù)字相同，求m+n的最小值；
（2）若3^m與3ⁿ的末兩位數(shù)字都相同，求m-n的最小值．

Answer 1

（1）若3^m與3ⁿ的末位數(shù)字相同，必須且只須3^m-3ⁿ是10的倍數(shù)，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍數(shù)．
又（3ⁿ，10）=1，所以3^m-n-1是10的倍數(shù)，即只需3^s（=3^m-n）的末位數(shù)字是1．
顯然3⁴=81滿足條件，所以m-n的最小值是4．
取n=1，則m=5，此時m+n最小，其最小值等于6．
答：m+n的最小值是6．
（2）若3^m與3ⁿ的末兩位數(shù)字都相同，必須且只需3^m-3ⁿ是100的倍數(shù)．
即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是100的倍數(shù)．又（3ⁿ，100）=1，
所以3^m-n-1是100的倍數(shù)，即只需3^r（=3^m-n）的末兩位數(shù)字是01．
由于3^r的末位數(shù)字是1，所以r一定是4的倍數(shù)．令r=4t（t是正整數(shù)）所以3^r=3^4t=81^t的末兩位數(shù)字是01．
經(jīng)試算可知：81¹末兩位數(shù)字是81；81²末兩位數(shù)字是61；81³末兩位數(shù)字是41；81⁴末兩位數(shù)字是21；81⁵末兩位數(shù)字是01；
當t=5時，81^t的末兩位數(shù)字是01．所以當t=5時，r=4t取得最小值是20，也就是m-n的最小值是20．
答：m-n的最小值是20．