Question

如圖1，點(diǎn)G、F分別是等腰△ABC、等腰△ADE底邊的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE＝∠，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)．試探索：∠GPF與∠的關(guān)系，并加以證明．

說明：⑴如果你反復(fù)探索，沒有解決問題，請(qǐng)寫出探索過程（要求至少寫3步）；

⑵在你完成⑴之后，可以從如圖2，如圖3中選取一個(gè)圖，完成解答（選取圖2得10分；選取圖3得5分）．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

∠GPF=180º－∠α．證明：連結(jié)BD，連結(jié)CE．

∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，

∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180º－∠BAC=180º－∠α，

即∠GPF=180º－∠α.

寫探索過程要步步有據(jù)，寫兩步得1分，寫三步得2分．

選取圖2證明：

連結(jié)BD，連結(jié)CE．

∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

設(shè)BD與CE交于點(diǎn)O，AC與BD交于點(diǎn)K，∠AKB=∠CKO，

∴∠BOC=∠BAC，∠COD=180º－∠α．

∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，

∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠GPC=∠BDC，∠DPF=∠DCE，

∠GPF=180º－∠GPC－∠DPF=180º－∠BDC－∠DCE=∠COD，即∠GPF=180º－∠α.

選取圖3證明：

∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點(diǎn)，∴PG∥BD，PF∥CE．

∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD =180º－∠BAC=180º－∠α，

即∠GPF=180º－∠α.