Question

已知直線L₁：y=

3

4

x+3和直線L₂：y=-2x+2．
（1）在坐標系中畫出它們的圖象；
（2）求這兩條直線與x軸圍成的三角形的面積；
（3）設直線L₂ ：y=-2x+2與x軸交于點A，等腰直角△ABC的一個頂點B在直線L₁：y=

3

4

x+3上，另一個頂點C在x軸上（C在A左邊），直接寫出C點的坐標．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求出兩直線與坐標軸的交點坐標，然后利用描點法畫出兩條直線；
（2）利用兩直線相交的問題，通過解方程組

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得到兩直線的交點P的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）分類討論：當∠ACB=90°時，如圖1，設C（t，0），則B（t，

3

4

t+3），根據(jù)等腰直角三角形的性質得AC=BC，即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，于是可得此時C點坐標；當∠ABC=90°時，如圖2，作BH⊥AC于H，根據(jù)等腰三角形的性質得AH=CH，設C（t，0），則H點坐標為（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），再根據(jù)等腰直角三角形的性質得BH=

1

2

AC，即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，于是可得此時C點坐標；當∠CAB=90°時，如圖3，當x=1時，y=

3

4

x+3=

15

4

，根據(jù)等腰直角三角形的性質得AC=AB=

15

4

，再計算出OC=AC-OA=

11

4

，于是可得此時C點坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=

3

4

x+3=3；當y=0時，

3

4

x+3=0，解得x=-4，則直線y=

3

4

x+3與x軸的交點坐標為（-4，0），與y軸的交點坐標為（0，3），

同理可得直線y=-2x+2與x軸的交點坐標為（1，0），與y軸的交點坐標為（0，2），
如圖；


（2）解方程組

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得

x=- 4 11 y= 30 11

，則兩直線的交點P的坐標為（-

4

11

，

30

11

），
所以這兩條直線與x軸圍成的三角形的面積=

1

2

×（1+4）×

30

11

=

75

11

；
（3）當∠ACB=90°時，如圖1，設C（t，0），則B（t，

3

4

t+3），

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，
此時C點坐標為（-

8

7

，0）；
當∠ABC=90°時，如圖2，作BH⊥AC于H，則AH=CH，
設C（t，0），則H點坐標為（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BH=

1

2

AC，
即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，
此時C點坐標為（-

31

7

，0）；
當∠CAB=90°時，如圖3，

當x=1時，y=

3

4

x+3=

15

4

，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=AB，
即AC=

15

4

，
∴OC=AC-OA=

11

4

，
此時C點坐標為（-

11

4

，0），
綜上所述，C點坐標為（-

31

7

，0）或（-

8

7

，0）或（-

11

4

，0）．

點評：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．