Question

(本題滿分9分)
劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖①、②．圖①中，，，；圖②中，，，．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動(dòng)．在移動(dòng)過程中，、兩點(diǎn)始終在邊上(移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合)．
(1)在沿方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：、兩點(diǎn)間的距離逐漸 ▲ ．
(填“不變”、“變大”或“變小”)
(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，、的連線與平行?
問題②：當(dāng)移動(dòng)至什么位置，即的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形?
問題③：在的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得?如果存在，
求出的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程．

Answer 1

（1）變小
（2）
①cm時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形
③不存在這樣的位置，使得

（1）變小
（2）問題①：解：∵，，，
∴.
∵,, 
∴.
連結(jié)，設(shè).
∴,在中，DC=4.
∴=12-4.
即cm時(shí)，
問題②：解：設(shè)當(dāng)，
在中，.
（Ⅰ）當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,.
(Ⅱ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,（不符合題意，舍去）.
(Ⅲ)當(dāng)為斜邊時(shí)，由得，,,
=144-248<0,
∴方程無解.
∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，
當(dāng)時(shí)，以線段、、的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.
問題③不存在這樣的位置，使得.
假設(shè)，由,得.作的平分線，交于,
則,
∴.
∴,.
∴.
∴不存在這樣的位置，使得.