Question

（2003•岳陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連接CE，過(guò)B作BF⊥CE交AC于F．求證：CF=2FA．

Answer 1

【答案】分析：延長(zhǎng)BF交AD于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABG=∠BCE，可證△ABG≌△BCE，所以AG=BE，利用AG∥BC，可知FA：CF=AG：BC=1：2，所以CF=2FA．
解答：證明：延長(zhǎng)BF交AD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=BE，
∵BE=AB，
∴AG=AB=BC，
∴AG：BC=1：2，
∵AD∥BC，
∴FA：CF=AG：BC=1：2，
∴CF=2FA．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及相似三角形中成比例線(xiàn)段的運(yùn)用．根據(jù)正方形的性質(zhì)找到相等的邊和角來(lái)證明三角形全等，并利用相似比求線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．