Question

17、已知半徑為r的⊙O₁與半徑為R的⊙O₂外離，直線DE經過O₁切⊙O₂于點E并交⊙O₁于點A和點D，直線CF經過O₂切⊙O₁于點F并交⊙O₂于點B和點C，連接AB、CD，
（1）[以下ⅰ）、ⅱ）兩小題任選一題]
（�。┣笏倪呅蜛BCD的面積
（ⅱ）求證：A、B、E、F四點在同一個圓上
（2）求證：AB∥DC．

Answer 1

分析：（1）連接O₁F，O₂E，AF，BE，根據切線的性質得∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，可證O₁、F、O₂、E四點共圓，得出∠AO₁F=∠EO₂B，再利用等腰三角形的性質，外角的性質證明∠EAF=∠EBF，判斷A、E、B、F四點共圓；
（2）由（1）的結論可證∠ABF=∠AEF，同理可證F、C、E、D四點共圓，得到∠DEF=∠DCF，從而有∠ABF=∠DCF，證明結論．

解答：證明：（1）連接O₁F，O₂E，AF，BE，
∵DE，CF為切線，
∴∠O₁F0₂=O₂EO₁=90°，∴O₁、F、O₂、E四點共圓，
∴∠AO₁F=∠EO₂B，
又O₁A=O₁F，O₂E=O₂B，
∴根據三角形外角定理，得∠EAF=∠EBF，
所以A、E、B、F四點共圓；
 
（2）∵A、E、B、F四點共圓，
∴根據同弧所對的圓周角相等，連接EF，則∠ABF=∠AEF，
同（2）法可證F、C、E、D四點共圓，則∠DEF=∠DCF，
而∠AEF和∠DEF為同一角，則∠ABF=∠DCF，
所以AB∥CD．

點評：本題考查了四點共圓的判定與性質，切線的性質．關鍵是根據切線的性質，逐步判斷四點共圓，利用四點共圓的性質證明結論．