Question

（2012•龍巖）如圖，已知CD是⊙O的直徑，點A為CD延長線上一點，BC=AB，∠CAB=30°．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求

BD

的長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，如圖所示，由BC=AB，利用等邊對等角得到一對角相等，由∠CAB的度數(shù)得出∠ACB的度數(shù)，再由OC=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，確定出∠CBO的度數(shù)，由∠AOB為△BOC的外角，利用外角的性質求出∠AOB的度數(shù)，在△AOB中，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABO為90°，可得出AB為圓O的切線，得證；
（2）利用弧長公式求解．

解答：（1）證明：連接OB，如圖所示：
∵BC=AB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
又OC=OB，
∴∠CBO=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°，
在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，
可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，
則AB為圓O的切線；

（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，
∴

BD

的長度l=

60π•2

180

=

2

3

π．

點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，以及弧長公式的運用，切線的判定方法有兩種：有點連接，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．