Question

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得∠APB=60°，則稱(chēng)P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D（，），E（0，－2），F(xiàn)（，0）

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是       ；
②過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線(xiàn)上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍。

Answer 1

（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1

解：（1）①D，E。
②由題意可知，若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線(xiàn)PA和PB之間所夾的角為60°。
由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，

連接BC，則，
∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿(mǎn)足0≤d≤2r。
由（1），考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，
如圖3，

點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離OP=2×1=2，
過(guò)點(diǎn)O作x軸的垂線(xiàn)OH，垂足為H，
則。
∴∠OGF=60°。
∴OH=OGsin60°=，。
∴∠OPH=60°。可得點(diǎn)P₁與點(diǎn)G重合。
過(guò)點(diǎn)P₂作P2M⊥x軸于點(diǎn)M，可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=。
∴若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線(xiàn)段P₁P₂上。
∴0≤m≤。
（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線(xiàn)段EF的中點(diǎn)。
考慮臨界情況，如圖4，

即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=EF=2，此時(shí)，r=1。
∴若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1。
（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得出E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)而得出F、D，與⊙O的關(guān)系：
如圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)設(shè)切點(diǎn)為R，

∵⊙O的半徑為1，∴RO=1。
∵EO=2，∴∠OER=30°。
根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出⊙O的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30°。
∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。
∵D（，），E（0，－2），F(xiàn)（2，0），
∴OF＞EO，DO＜EO。
∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)使得組成的角度等于60°。故在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D，E。
②若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線(xiàn)PA和PB之間所夾的角為60°，進(jìn)而得出PC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)P到圓心的距離d滿(mǎn)足0≤d≤2r，再考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，進(jìn)而得出m的取值范圍。
（2）若線(xiàn)段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；再考慮臨界情況，即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍。