Question

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖①），王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域（如圖②），由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點。

（1）求FC的長；
（2）利用圖②求出矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x（cm）為多少時，矩形的面積y（cm²）最大？最大面積是多少？
（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長。

Answer 1

解：（1）由題意，得△DEF∽△CGF，
∴，
∴，
∴FC=40（cm）；
（2）如圖，設(shè)矩形頂點B所對頂點為P，則
①當頂點P在AE上時，x=60，
y的最大值為60×30=1800（cm²）
②當頂點P在EF上時，過點P分別作PN⊥BG于點N，PM⊥AB于點M，
根據(jù)題意，得△GFC∽△GPN，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當x=40時，y的最大值為2400（cm²）；
③當頂點P在FC上時，y的最大值為60×4=2400（cm²）；
綜合①②③，得x=40cm時，矩形的面積最大，最大面積為2400cm²；
（3）根據(jù)題意，正方形的面積y（cm²）與邊長x（cm）滿足的函數(shù)表達式為：
，
當y=x²時，正方形的面積最大，
∴，
解之，得，
∴面積最大得正方形得邊長為48cm。