Question

如圖，梯形ANBC中，AN‖BC，且BC=2NA，∠NBC=90°，⊙O過A、B、C三點，直徑BE交AC于M，交NA的延長線于D．
（1）求證：AB=AC；
（2）若

EM

OM

=

3

2

，求tan∠D的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先連接AB，過點A作AF⊥BC于點F，得出四邊形ANBF是矩形，進而得出BF=CF=AN，則AF垂直平分BC，即可得出答案；
（2）首先證明AF過點O，進而得出△EMC∽OMA，即可得出EC與BE的關系，進而求出tan∠D的值．

解答：（1）證明：連接AB，過點A作AF⊥BC于點F，
∵AN‖BC，∠NBC=90°，AF⊥BC，
∴四邊形ANBF是矩形，
∴AN=BF，
∵BC=2NA，
∴BF=CF=AN，
∴AF垂直平分BC，
∴AB=AC；

（2）解：連接EC，
∵AF垂直平分BC，∴AF必過點O，
∵BE是⊙O直徑，
∴∠BCE=90°，
∵AF⊥BC，
∴AF∥EC，
∴△EMC∽OMA，
∴

EM

MO

=

EC

AO

=

3

2

，
設EC=3x，AO=2x，
∴BE=4x，
∴BC=

16x2-9x2

=

7

x，
∴tan∠D=tan∠DBC=

EC

BC

=

3x

7 x

=

3 7

7

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理的推論、矩形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出EC與BE的關系是解題關鍵．