Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．  
（1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；     
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？      
（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數(shù)表達式.

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．         
∴=．（0＜＜4） 
（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則AO="OD" =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．  
∴，
∴． 
過M點作MQ⊥BC于Q，則． 
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，
．
∴x＝． 
∴ 當x＝時，⊙O與直線BC相切．
（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO ∽△ABP．  
∴． AM＝MB＝2． 
故以下分兩種情況討論：
① 當0＜≤2時，．  
② 當2＜＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)．
∵ 四邊形AMPN是矩形，  
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．
∴ FN＝BM＝4－x． 
∴．
又△PEF ∽△ACB． 
∴．
∴．
＝．

解析