Question

如圖：已知正方形ABCD的對角線AC長為20cm，半徑為1的⊙O₁的圓心O₁從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度向C運(yùn)動(dòng)，半徑為1的⊙O₂的圓心O₂從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度向A運(yùn)動(dòng)且半徑同時(shí)也以1cm/s的速度不斷增大，兩圓同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)圓的圓心運(yùn)動(dòng)到AC的端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)圓也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)O₁運(yùn)動(dòng)了幾秒時(shí)，⊙O₁與AD相切？
（2）當(dāng)O₂運(yùn)動(dòng)了幾秒時(shí)，⊙O₂與CB相切？
（3）當(dāng)O₂運(yùn)動(dòng)了幾秒時(shí)，⊙O₂與⊙O₂相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)設(shè)⊙O₁運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)⊙O₁與AD相切于E連接OE，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，當(dāng)O₁運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)⊙O₁與AD相切；
（2）根據(jù)設(shè)O₂運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，⊙O₂與BC相切于F，則△C O₂F為等腰直角三角形，利用（2t）²=（t+1）²+（t+1）²求出即可；
（3）根據(jù)①⊙O₁與⊙O₂第一次相切時(shí)以及如圖⊙O₁與⊙O₂第二次相切時(shí)則O₁ O₂=t+1-1，如圖⊙O₁與⊙O₂第三次相切時(shí)則O₁ O₂=t+1-1=t，分別求出即可．
解答：解：（1）

設(shè)⊙O₁運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)⊙O₁與AD相切于E連接OE，
∴OE⊥AD，
∵AC為正方形的對角線，∴△A O₁E為等腰直角三角形，
∴AE=O₁E=1，
∵A O₁=t
∴t²=1²+1²，
解得t₁=，t₂=-（舍去），
當(dāng)O₁運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)⊙O₁與AD相切；

（2）設(shè)O₂運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，⊙O₂與BC相切于F，則△C O₂F為等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，
∵C O₂=2t，
∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得，（舍去），
∴當(dāng)O₂運(yùn)動(dòng)了（）秒時(shí)，⊙O₂與BC相切；

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)⊙O₁，⊙O₂相切，則O₁A=t，O₂C=2t，
①如圖③⊙O₁與⊙O₂第一次相切時(shí)，則O₁ O₂=1+t+1，
∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，
∴1+t+1=20-t-2t，解得，
②如圖④⊙O₁與⊙O₂第二次相切時(shí)則O₁ O₂=t+1-1，
∵O₁ O₂=20-t-2t，
∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，
③如圖⑤⊙O₁與⊙O₂第三次相切時(shí)則O₁ O₂=t+1-1=t，
∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，
∴t=t+2t-20，
 解得t=10，
∵t=10時(shí)，O₂C=2×10=20∴此時(shí)O₂落在AC的端點(diǎn)A上，
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)了4.5秒、5秒、10秒時(shí)⊙O₁與⊙O₂相切．
點(diǎn)評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知利用切線的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．