Question

初步探索 感悟方法
如圖1用水平線和豎直線將平面分成若干個面積為1的小正方形格子，小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數(shù)和為x．

（1）上圖中的格點多邊形，其內部都只有1個格點，它們的面積S與各邊上格點的個數(shù)和x的對應關系如下表：

序號	①	②	③	④	…
S	2	2.5	3	4	…
x	4	5	6	8	…

請用含x的代數(shù)式表示S，即S=

1

2

x

；
（2）進一步探索：你可以畫出一些格點多邊形，使這些多邊形內部有而且只有2個格點，在這種情況下，用含x的代數(shù)式表示S，即S=

1

2

x+1

；
（3）請你繼續(xù)探索并歸納：當格點多邊形內部有且只有n個格點時，直接寫出S與x之間的關系式．
積累經(jīng)驗 拓展延伸
如圖2，對等邊三角形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：等邊三角形網(wǎng)格中每個小等邊三角形的面積為1，小等邊三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．
（4）設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數(shù)和為x，當格點多邊形內部有且只有n個格點時，直接寫出S與x之間的關系式．

Answer 1

分析：（1）由（1）可以直接得到S=

1

2

x；
（2）由圖可知多邊形內部都有而且只有2格點時，①的各邊上格點的個數(shù)為10，面積為6，②的各邊上格點的個數(shù)為4，面積為3，③的各邊上格點的個數(shù)為6，面積為4，進而得出答案；
（3）由圖可知多邊形內部都有而且只有n格點時，圖形的面積；
（4）由圖可知多邊形內部都有而且只有n格點時，圖形的面積．

解答：解：（1）∵①各邊上格點個數(shù)和為：4，S=2，②各邊上格點個數(shù)和為：5，S=2.5，
③各邊上格點個數(shù)和為：6，S=3，
④各邊上格點個數(shù)和為：7，S=3.5，
∴S=

1

2

x；
故答案為：

1

2

x；

（2）由圖可知多邊形內部都有而且只有2格點時，
⑤的各邊上格點的個數(shù)為4，面積為3，
⑥的各邊上格點的個數(shù)為10，面積為6，
∴S=

1

2

x+1；
故答案為：

1

2

x+1；

（3）由圖1可知多邊形內部都有而且只有n格點時，面積為：S=

1

2

x+（n-1）．

（4）由圖2可知多邊形內部都有而且只有n格點時，面積為：S=x+2（n-1）．

點評：此題主要考查了應用作圖與設計，此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．