Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90°，OA= ，拋物線y=ax2﹣ax﹣a經(jīng)過點(diǎn)B（2， ），與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；
（3）延長(zhǎng)BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明ED∥AC的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得 =a×22﹣2a﹣a，

解得a= ，

∴拋物線的表達(dá)式為y= x2﹣ x﹣ ．

（2）

解：連接CD，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴ = ，

設(shè)OC=m，則CF=2﹣m，則有 = ，

解得m1=m2=1，

∴OC=CF=1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ ，

∴OD= ，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD≌△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴點(diǎn)B、C、D在同一直線上，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上．

（3）

解：過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，則 ，

解得k=﹣ ，

∴y=﹣ x+ ，代入拋物線的表達(dá)式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．

解得x=2或x=﹣2，

當(dāng)x=﹣2時(shí)y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2， ），

∵tan∠EDG= = = ，

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC= = = ，

∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，

∴ED∥AC．

【解析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求得．（2）通過△AOC∽△CFB求得OC的值，通過△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出結(jié)論．（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，求得與拋物線的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．