Question

如圖，CD，BE是△ABC的角平分線，∠A=60°，BD=2CE=2，則△ABC的周長是

 

．

Answer 1

分析：過B作BQ∥AC交CD的延長線于Q，在BC上截取BF=BD=2，由BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，得出∠SBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB=∠ACD，求出∠SBC+∠DCB=60°，求出∠ADS+∠AES=360°-（∠A+∠DSE）=180°，根據(jù)SAS證△BDS≌△BFS，得出∠BDS=∠BFS，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠CFS=∠ESC，證△CES≌△CFS，求出BC=1+2=3，由BQ∥AC，求出BC=BQ=3，和

AC

BQ

=

AD

DB

，推出

AC

AD

=

BQ

DB

=

3

2

，設(shè)AC=3x，AD=2x，根據(jù)BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，求出x=

5

7

，求出AC=

15

7

，AB=

24

7

，根據(jù)△ABC的周長是AB+BC+AC求出即可．

解答：解：過B作BQ∥AC交CD的延長線于Q，在BC上截取BF=BD=2，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠SBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB=∠ACD，
∴∠SBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
=

1

2

（180°-∠A）=60°，
∴∠BSC=180°-（∠SBC+∠SCB）=120°，
∴∠DSE=∠BSC=120°，
∴∠ADS+∠AES=360°-（∠A+∠DSE）=180°，
∵BD=BF，∠ABE=∠CBE，SB=SB，
∴△BDS≌△BFS，
∴∠BDS=∠BFS，
∵∠ADS+∠BDS=180°，∠BFS+∠CFS=180°，∠AES+∠CES=180°，
∴∠CFS=∠ESC，
∵∠ACD=∠BCD，CS=CS，
∴△CES≌△CFS，
∴CF=CE=1，
∴BC=1+2=3，
∵BQ∥AC，
∴∠Q=∠ACD=BCD，
∴BC=BQ=3，
∴

AC

BQ

=

AD

DB

，

AC

AD

=

BQ

DB

=

3

2

，
設(shè)AC=3x，AD=2x，
∵BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
∴3²=（2+2x）²+（3x）²-2（2+2x）•3xcos60°，
∵x＞0，
解得：x=

5

7

，
∴AC=

15

7

，AB=2+

10

7

=

24

7

，
∴△ABC的周長是AB+BC+AC=

60

7

，
答：△ABC的周長是

60

7

．

點評：本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，對頂角和鄰補(bǔ)角，等腰三角形的判定，平行線分線段成比例定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的性質(zhì)和判定，余弦定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，此題是一個拔高的題目，難度偏大．