Question

某班同學到野外活動，為測量一池塘兩端A、B的距離，設計了幾種方案，下面介紹兩種：(Ⅰ)如圖(1)，先在平地取一個可以直接到達A、B的點C，并分別延長AC到D，BC到E，使DC＝AC，BC＝EC，最后測出DE的距離即為AB的長．(Ⅱ)如圖(2)，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點，使BC＝CD，接著過點D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．閱讀后回答下列問題：

(1)方案(Ⅰ)是否可行？為什么？

(2)方案(Ⅱ)是否切實可行？為什么？

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________；若僅滿足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)是否成立？

(4)方案(Ⅱ)中，若使BC＝n·CD，能否測得(或求出)AB的長？理由是________，若ED＝m，則AB＝________．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方案(I)可行； 　　∵DC＝AC，EC＝BC且有對頂角∠ACB＝∠DCE， 　　∴△ACB≌△DCE(SAS)，∴AB＝DE， 　　∴測出DE的距離即為AB的長．故方案(I)可行．(3分) 　　(2)方案(Ⅱ)可行； 　　∵AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 　　又∵BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC，∴AB＝ED， 　　∴測出DE的長即為AB的距離．故方案(Ⅱ)可行．(6分) 　　(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形； 　　若∠ABD＝∠BDE≠90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC， 　　∴，∴只要測出ED、BC、CD的長，即可求得AB的長． 　　∴ED的長不等于AB的長，∴方案(Ⅱ)不成立．(9分) 　　(4)根據(jù)(3)中所求可以得出，∴，∵BC＝n·CD， 　　∴ABED＝n，求出DE即可得出答案， 　　當ED＝m，則AB＝mn．(12分)