Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右平移，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，又P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．
（1）連接AQ，當(dāng)△ABQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)，如果沿著直線AQ翻折，點(diǎn)P恰好落在線段AB上，求這時(shí)∠AQP的度數(shù)；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB，AC交射線PQ于點(diǎn)C，連接BC，D是BC的中點(diǎn)．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使得以A、C、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，試求出這時(shí)cot∠ABC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于∠ABQ＜90°，若△ABQ是直角三角形，需要考慮兩種情況：
①∠BAQ=90°，此時(shí)△BAQ∽△ABO，根據(jù)相似三角形所得比例線段，可求出BQ的長(zhǎng)，即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)；
②∠BQA=90°，此時(shí)四邊形BOAQ是矩形，BQ=OA，由此可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）假設(shè)P點(diǎn)翻折到AB上時(shí)，落點(diǎn)為E，那么∠QAP=∠QAE，QE=QP；由于BQ∥OP，那么∠QAP=∠BQA=∠BAQ，即BQ=BA=5，此時(shí)P、Q運(yùn)動(dòng)了2.5s，所以AP=AE=

5

2

，即E是AB的中點(diǎn)；分別過(guò)E、Q作BQ、OP的垂線，設(shè)垂足為F、H，易求EF=PH=

3

2

，即可證得△QPH≌△QEF，得∠EQF=∠PQH，由此發(fā)現(xiàn)∠EQP=90°，而∠PQA=∠EQA，由此可求得∠AQP的度數(shù)．
（3）假設(shè)存在這樣的平行四邊形，可分作兩種情況考慮：
①點(diǎn)C在線段PQ上，可延長(zhǎng)AC、BQ交于點(diǎn)F，由于DQ∥AC，因此DQ是△BCF的中位線，則FC=2DQ=2AC，過(guò)F作FH⊥x軸于H，由于∠BAC=90°，可證得△AOB∽△FHA，通過(guò)得到的比例線段，即可求出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AC的長(zhǎng)；在Rt△BAC中，已知了AC、BA的長(zhǎng)，即可求出∠ABC的正切值；
②點(diǎn)C在PQ的延長(zhǎng)線上，設(shè)AD、AC與BQ的交點(diǎn)分別為G、F，按照①的思路可證得AD=CQ=2AG，那么在相似三角形△CFQ和△AFG中，F(xiàn)C=2AF，即AC=3AF，AF的長(zhǎng)在①中已求得，由此可得到AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出∠ABC的余切值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
�。┊�(dāng)∠BAQ=90°時(shí)，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB=AB：AO．解得 BQ=

25

4

；
ⅱ）當(dāng)∠BQA=90°時(shí)，BQ=OA=4，
∴Q （

25

4

，3）或Q（4，3）．（4分）


（2）令點(diǎn)P翻折后落在線段AB上的點(diǎn)E處，
則∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴AP=

1

2

BQ=

5

2

，
∴AE=AP=

5

2

=

1

2

AB，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BQ，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OP，垂足為點(diǎn)H，
則 EF=

3

2

，PH=

3

2

，∴EF=PH．
又∵EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，從而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）


（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段PQ上時(shí)，延長(zhǎng)BQ與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA=AO：FH，即5：FA=4：3，
∴FA=

15

4

．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D為BC中點(diǎn)，
∴FC=2DQ=2AC．
∴AC=

5

4

．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=

1

4

；
當(dāng)點(diǎn)C在PQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，記BQ與AC的交點(diǎn)為F，記AD與BQ的交點(diǎn)為G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D為BC中點(diǎn)，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG=PQ，
∴CQ=2PQ．
∴FC=2AF．
∴AC=

45

4

．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=

9

4

．
即cot∠ABC=

1

tan∠ABC

=

4

9

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及到圖形的翻折變換、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．