Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=ax+b（a，b是常數(shù)，且a≠0）的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k是常數(shù)，且k≠0）的圖象交于一、三象限內(nèi)的A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將直線AB沿y軸向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，分別與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)OE，OF，求△EOF的面積．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求出B的坐標(biāo)，代入求出反比例函數(shù)解析式，求出A的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求出即可；
（2）將直線AB沿y軸向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=x-3，解方程組得到E（-5，-2）．F（2，5），于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)B作BM⊥x軸于M，
∵B（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$，
∴BM=2，tan∠BOC=$\frac{2}{OM}$=$\frac{2}{5}$，
∴OM=5，
即B的坐標(biāo)是（-5，-2），
把B的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$得：k=10，
即反比例函數(shù)的解析式是y=$\frac{10}{x}$，
把A（2，m）代入得：m=5，
即A的坐標(biāo)是（2，5），
把A、B的坐標(biāo)代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{5=2k+b}\\{-2=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=3，
即一次函數(shù)的解析式是y=x+3；
（2）∵將直線AB沿y軸向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=x-3，
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴E（-5，-2），F(xiàn)（2，5），
∴△EOF的面積=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}×$3×5=$\frac{21}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題解直角三角形，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，題目比較好，難度適中．