Question

已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設(shè)點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)P（t，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交直線BC于點(diǎn)D，連AD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，求證：OP=CD；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，拋物線y=-

1

6

x²+

2

3

x+4上是否存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）證OP=CD，可以證明它們所在的三角形全等，即證明：△AOP≌△OCD；已知的條件有：∠AOP=∠OCD=90°，OA=OC=4，只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，通過圖示可以發(fā)現(xiàn)∠OAP、∠HAP是同角的余角，這兩個(gè)角相等，那么證明三角形全等的全部條件都已得出，則結(jié)論可證．
（2）點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，那么就需分三種情況討論：
①點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上；可以延續(xù)（1）的解題思路，先證明△AOP、△OCD全等，那么得到的條件是OP=CD，然后用t表示OP、BD的長，再根據(jù)給出的相似三角形得到的比例線段，列等式求出此時(shí)t的值，要注意t的正負(fù)值的判斷；
②點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；由于OP、CD都小于等于正方形的邊長（即OA、AB），所以只有OP=BD時(shí)，給出的兩個(gè)三角形才有可能相似（此時(shí)是全等），可據(jù)此求出t的值；
③點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)；方法同①．
（3）這道題要分兩種情況討論：
①線段PC為平行四邊形的對(duì)角線，那么點(diǎn)Q、D關(guān)于PC的中點(diǎn)對(duì)稱，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，而QP∥CD，即Q、P的橫坐標(biāo)相同，那么先用t表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可確定t的值；
②線段PC為平行四邊形的邊；先用t表示出PC的長，把點(diǎn)D向左或向右平移PC長個(gè)單位就能表達(dá)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入拋物線解析式后即可得到t的值．

解答：（1）證明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；
正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：
∵

OA=OC ∠OAP=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD．

（2）解：①點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，P（t，0），且t＜0，如圖①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；
又∵∠POH=∠COD，
∴∠COD=∠PAO；
在△AOP與△OCD中，
∵

OA=OC ∠PAO=∠COD ∠AOP=∠OCD

，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP=CD=-t，則：BD=BC+CD=4-t；
若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則有：

OP

AB

=

OA

BD

，得：

-t

4

=

4

4-t

解得：t=2-2

5

或t=2+2

5

（正值舍去）；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，P（t，0），0＜t≤4，如圖②；
因?yàn)镺P＜OA、BD＜AB、OA=AB，
若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，那么有：

OP

OA

=

BD

AB

，所以O(shè)P=BD，即：
t=4-t，t=2；
③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，P（t，0），t＞4，如圖③；
同①可求得t=2+2

5

；
綜上，t₁=2，t₂=2+2

5

，t₃=2-2

5

．

（3）解：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，分兩種情況討論：
①PC為平行四邊形的對(duì)角線，則QP∥CD，且QP=CD；
若P（t，0）、D（4，t），則Q（t，-t），代入拋物線y=-

1

6

x²+

2

3

x+4中，得：
-

1

6

t²+

2

3

t+4=-t，即：t²-10t-24=0，
解得：t₁=-2，t₂=12；
②PC為平行四邊形的邊，則DQ∥PC，且AD=PC；
若P（t，0）、D（4，t），則 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；
Q（t，t）時(shí)，t=-

1

6

t²+

2

3

t+4，即：t²+2t-24=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=-6；
Q（8-t，t）時(shí)，t=-

1

6

（8-t）²+

2

3

（8-t）+4，即：t²-6t+8=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=2．
綜上可知，t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2．
∴存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及了正方形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的特點(diǎn)等重點(diǎn)知識(shí)；題目解題的思路并不復(fù)雜，但難度在于涉及的情況太多，需要分情況逐一進(jìn)行討論，容易漏解．