Question

（1）計算：cos60°+

12

-(

1

2

)-1×(2008-

2

)0
（2）先化簡再求值：

x

x-1

÷

x2-x

x2-1

-

1

x-1

，其中x=sin45°．
（3）a、b、c是△ABC的三邊長，且關(guān)于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個相等的實根．求證：這個三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）先計算乘方、后代入三角函數(shù)值計算加減；
（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法的形式，然后分解因式、約分化簡，最后通分、合并同類項；
（3）先將原方程化為一元二次方程的一般形式，然后根據(jù)根的判別式△=b²-4ac=0證明．

解答：解：（1）原式=

1

2

+2

3

-2×1，
=2

3

-

3

2

；

（2）原式=

x

x-1

×

(x-1)(x+1)

x(x-1)

-

1

x-1

，
=

(x+1)-1

x-1

，
=

x

x-1

；
∵x=sin45°=

2

2

，
∴原式=

2 2

2 2 -1

，
=

2

2 -2

，
=

2 ( 2 +2)

( 2 -2)( 2 +2)

，
=-1-

2

；

（3）證明：由原方程，得
（b+c）x²-2ax-b+c=0，
∵關(guān)于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有兩個相等的實根，
∴△=4a²-4（b+c）（-b+c）=0，
即a²-c²+b²=0，
∴a²+b²=c²，
∴這個三角形是直角三角形．

點評：本題綜合考查了根的判別式、分式的化簡求值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、勾股定理的逆定理以及特殊角的三角函數(shù)值．雖然考查知識點比較多，但是難度不大，均屬于基礎(chǔ)題．