Question

有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)）：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形ABC；
②腰長(zhǎng)為4、頂角為36°的等腰三角形JKL；
③腰長(zhǎng)為5、頂角為120°的等腰三角形OMN；
④兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形PQRS；
⑤長(zhǎng)為4且寬（小于長(zhǎng)）與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形WXYZ．
它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)內(nèi)、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)．
我們規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”．
（1）證明：第④種塑料板“可操作”；求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，不妨設(shè)QS=PR=SR=4，PQ=PS=RQ=x，分別過(guò)點(diǎn)S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，則由△QRF∽△RSI可求得RS的值，從而根據(jù)勾股定理可求得SI的值，將其與2.4比較，若小于2.4則可操作，否則不可操作．
（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底邊上的高M(jìn)G，易求得：AH與MG的值，對(duì)各種情況進(jìn)行分析，從而不難求得其不可操作的概率．

解答：解：（1）由題意可知四邊形PQRS必然是等腰梯形，（2分）不妨設(shè)QS=PR=RS=4，PQ=PS=RQ=x，分別過(guò)點(diǎn)S、Q作QR、RS的垂線，垂足為I、F，則由△QRF∽△RSI得到

RI

RF

=

RS

QR

，
即

4-x 2

x 2

=

x

4

解得x=2

5

-2．
∴SI=

RS2-IR2

=

x2-( 4-x 2 )2

=

10-2 5

＜2.4，
∴第④種塑料板“可操作”．（5分）
（2）分別作直角三角形ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底邊上的高M(jìn)G，易求得：AH=2.4，MG=2.5．（2分）
又由（1）可得等腰梯形PQRS的銳角底角是72°，△JKL≌△PQR，∴KE=SI．
而黃金矩形WXYZ的寬等于4×

5 -1

2

=2

5

-2＞2.4，（4分）
∴第①②④三種塑料板“可操作”；而第③⑤兩種塑料板“不可操作”．
∴從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率P=

7

10

．（3分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的應(yīng)用及概率公式的綜合運(yùn)用能力．