Question

問(wèn)題背景：
如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．

實(shí)踐運(yùn)用：
如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，求：PA+PB的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程．
知識(shí)拓展：
如圖（c），在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是線段AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是

 

．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（b）過(guò)點(diǎn)B作CD的垂線交CD于E點(diǎn)，交圓O于B₁點(diǎn)，連接AB₁，當(dāng)P點(diǎn)為AB₁與CD的交點(diǎn)時(shí)，AP+BP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AB₁，即可得出PA+PB的最小值；
（c）當(dāng)點(diǎn)E（E′）關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)E″與P、F（F′）三點(diǎn)共線且與AD垂直時(shí)，易求E″F（F′）的長(zhǎng)為

5

．

解答：實(shí)踐運(yùn)用：
（b）如圖b，過(guò)點(diǎn)B作CD的垂線交CD于E點(diǎn)，交圓O于B₁點(diǎn)，連接AB₁，
當(dāng)P點(diǎn)為AB₁與CD的交點(diǎn)時(shí)，AP+BP的值最�。�
過(guò)A點(diǎn)作CD的垂線交CD于F點(diǎn)，交圓O于H點(diǎn)，過(guò)B₁作AH的垂線交AH于G點(diǎn)．
由垂徑定理可知：BP=B₁P；
∵∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，
∴OE=

3

，OF=1．
∴EF=B₁G=

3

-1，又由于AG=AF+FG=

3

+1，
AB₁²=AG²+B₁G²=(

3

+1)2+(

3

-1)2=8．
∴AB₁=2

2

，即AP+BP的最小值為2

2

．

知識(shí)拓展：
（c）如圖c所示，當(dāng)點(diǎn)E（E′）關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)E″與P、F（F′）三點(diǎn)共線且與AD垂直時(shí)，PE+PF有最小值．
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，
由題意可得：∠BF′E″=∠F′E″M=∠E″MB=90°，
∴四邊形BME″F′為矩形，
則BM=E″F′，
在Rt△ABM中，AB=10，∠BAD=60°，
∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=5

3

．
故答案為：5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是得到PE+PF的最小值為菱形ABCD中AD邊的高．