Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，1）、B（m，-3）兩點(diǎn)．
（1）利用圖中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若經(jīng)過點(diǎn)A、B的拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為12，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將兩點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式即可得出m和n的值，從而求出反比例函數(shù)的解析式和B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b的解析式，就可求出k、b的值；
（2）設(shè)C的坐標(biāo)為（0，c），令一次函數(shù)解析式中的x=0求出y的值，確定出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由y軸把△ABC分成兩部分△ACD和△BCD，都以|OD|為底，點(diǎn)A和點(diǎn)B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，利用三角形的面積公式分別表示出△ACD和△BCD，兩面積相加等于△ABC的面積即等于12列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)出過A，B及C三點(diǎn)的拋物線解析式，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于a，b及c的三元一次方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，確定出拋物線的解析式．
解答：解：（1）把A（3，1）代入反比例解析式中得：n=3，
∴反比例解析式為y=，
把B（m，-3）代入反比例解析式中得：m=-1，即B（-1，-3），
把A（3，1）和B（-1，-3）代入一次函數(shù)y=kx+b得：
，①-②得：4k=4，解得：k=1，
把k=1代入②得：-1+b=-3，解得：b=-2，
∴一次函數(shù)解析式為y=x-2；

（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，c），
令y=x-2中x=0，解得：y=-2，則點(diǎn)D（0，-2），
根據(jù)題意得：S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，
即|c+2|•3+|c+2|•|-1|=12，
化簡(jiǎn)得：|c+2|=6，即c+2=6或c+2=-6，
解得：c=4或c=-8，
故C（0，4）或C（0，-8），又A（3，1），B（-1，-3），
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
當(dāng)C（0，4）時(shí)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，
解得：；
當(dāng)C（0，-8）時(shí)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，
解得：．
∴拋物線解析式為：y=-2x²+5x+4或．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式的方法，是一道中檔題．學(xué)生在作第二問時(shí)注意利用y軸把△ABC的面積分成兩部分△ACD和△BCD的面積相加．