Question

已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN∥AB，DN交AC于點(diǎn)M，MA=MC．

①求證：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

Answer 1

詳見解析

試題分析：①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角邊角”證明△AMD和△CMN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CN，然后判定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等即可得證；
②根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推出∠MCD=∠MDC，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得MD=MC，然后證明AC=DN，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可得證．
試題解析：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
∵M(jìn)A=MC，∠AMD＝∠CMN，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴CD=AN；
②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由①知四邊形ADCN是平行四邊形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四邊形ADCN是矩形．