Question

24、（1）如圖，以△ABC三邊向外分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，判斷四邊形ADFE的形狀；
（2）在（1）中，是否存在平行四邊形ADFE？若存在，寫出△ABC應(yīng)滿足的條件；若不存在，請說明理由；
（3）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是矩形？
（4）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是菱形？
（5）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是正方形？

Answer 1

分析：（1）可通過證△EFB≌△ACB，得EF=AC=AD；然后證△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；從而證得四邊形ADFE的兩組對邊分別相等，即可得出ADFE是平行四邊形；
（2）由（1）知四邊形ADEF是平行四邊形，那么只需AEFD能構(gòu)成四邊形即可，所以E、A、D不能共線，即∠BAC≠60°；
（3）當ADFE是矩形時，∠EAD=90°，由此可求得∠BAC的度數(shù)；
（4）當ADFE是菱形時，AE=AD，此時AB=AC；
（5）當ADFE是正方形時，∠EAD=90°，且AE=AD，聯(lián)立（3）（4）的結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵△ABE、△CBF是等邊三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°；
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠EBA；
∴△EFB≌△ACB；
∴EF=AC=AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE；
由AE=DF，AD=EF即可得出四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）存在，且△ABC需滿足的條件是∠BAC≠60°；
證明：當∠BAC=60°時，
∵△ABE、△ACD是等邊三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°；
若∠BAC=60°，
則E、A、D三點共線，A、E、F、D夠不成四邊形；
當∠BAC≠60°時，由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形；
故存在平行四邊形AEFD，且△ABC需滿足的條件是∠BAC≠60°；

（3）若平行四邊形AEFD是矩形，則∠EAD=90°；
∴∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；

（4）若平行四邊形AEFD是菱形，則AE=AD；
此時AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；

（5）綜合（3）（4）的結(jié)論知：當△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時，四邊形AEFD是正方形．

點評：熟練掌握個特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．