Question

已知直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B．
（1）求m的取值范圍；
（2）點(diǎn)A、B能否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)m的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B，這兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程-x+2m+1=

m2+1

x

的兩個(gè)不同的解，根據(jù)判別式可求m的取值范圍；
（2）用反證法：假設(shè)能，根據(jù)對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，易求m值，與m的取值范圍比較，即可判定．

解答：解：（1）∵直線y=-x+2m+1與雙曲線y=

m2+1

x

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B，
∴

y=-x+2m+1 y= m2+1 x

，
∴-x+2m+1=

m2+1

x

，
∴根據(jù)根的判別式可知：m＞

3

4

；

（2）解法一：若A，B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則它們的縱橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
所以方程（1）的兩根互為相反數(shù)，
得2m+1=0，解得：m=-

1

2

，與m＞

3

4

矛盾，
∴A，B不可能關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．
解法二：若A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
則直線y=-x+2m+1過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，2m+1=0，m=-

1

2

，
此時(shí)直線為y=-x，所以A、B分別在第二、四象限，
由y=

m2+1

x

知，A、B應(yīng)在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．

點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查反比例函數(shù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．