Question

（2010•東城區(qū)二模）將一個量角器和一個含30°角的直角三角板如圖1放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，其中點B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點F，BC=OD
（1）求證：FC∥DB；
（2）當(dāng)OD=3，sin∠ABD=時，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB切半圓O于點F，得到∠OFB=90°，而∠ABC=90°，則OF∥BC，而OF=OD=BC，得到四邊形OFCB是平行四邊形，所以FC∥DB；
（2）在Rt△OFB中，根據(jù)sin∠ABO=，OF=OD=3，得到OB=5，F(xiàn)B=4．在Rt△ABC中，得到AB=3，即可得到AF的長．
解答：（1）證明：∵AB切半圓O于點F，
∴OF⊥AB，
即∠OFB=90°，
又∵△ABC為直角三角形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OFB=∠ABC．
∴OF∥BC．
又∵OF=OD，OD=BC，
∴OF=BC．
∴四邊形OFCB是平行四邊形．
∴FC∥OB．
即FC∥DB；

（2）解：在Rt△OFB中，
∵sin∠ABO=，OF=OD=3，
∴OB=5，F(xiàn)B=4．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=OD=3，
∴AB=3．
∴AF=3-4．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系．