Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的直線y=-x+4上．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）在所給的坐標(biāo)系中畫出直線y=-x+4；
（2）求△POA的面積S與變量x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)S=

9

2

時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，畫出此時(shí)的△POA，并用尺規(guī)作圖法，作出其外接圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

分析：（1）先求出直線y=-x+4x軸、y軸的交點(diǎn)，再根據(jù)題意畫出直線y=-x+4即可；
（2）先寫出△POA的面積S的表達(dá)式，在將其中的y替換成x的函數(shù)即可；
（3）先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，作出△POA，再以△POA兩邊垂直平分線的交點(diǎn)為圓心、圓心到任一頂點(diǎn)為半徑，作圓，即為△POA的外接圓．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）直線y=-x+4分別交x軸、y軸于（4，0）（0，4）；
如圖所示：
                                            
（2）∵點(diǎn)P在第一象限，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的絕對(duì)值|y|就是△POA的邊OA上高的值，
∴S=

1

2

•OA•y=

3

2

y，即S=

3

2

y，
而點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，故y=-x+4，
∴S=

3

2

（-x+4）=-

3

2

x+6，
又而點(diǎn)P在線段BC上，自變量x的取值范圍為：0＜x＜4
即所求S與變量x的函數(shù)關(guān)系式為：
S=-

3

2

x+6（0＜x＜4），

（3）若S=

9

2

，則有

9

2

=

3

2

y，y=3，
代入y=-x+4，得x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），
用尺規(guī)分別作出△POA的OA、OP（或AP）邊的垂直平分線，
以兩線交點(diǎn)為圓心、圓心到任一頂點(diǎn)為半徑，作圓，即為△POA的外接圓（圖形略）．【以圖形為準(zhǔn)給分，不必寫作法】

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解答要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)，要求同學(xué)們作圖規(guī)范，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．