Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn), 頂點(diǎn)為.

(1) 求此二次函數(shù)解析式；

(2) 點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線：交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作直線∥交直線于點(diǎn).問(wèn)：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、、，求和的最小值.

                                                

Answer 1

解:(1) ∵ 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0），

 ∴

       解得

       ∴ 二次函數(shù)解析式為.

                                      ……………2分

  （2）可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）

∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）.

可求 直線AD的解析式為  .

由題意可求 直線BK的解析式為.

∵ 直線的解析式為,

∴ 可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)為(5,).易求  .

∴ 四邊形ABKD是菱形.

∵ 菱形的中心到四邊的距離相等，

∴ 點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，即是滿足題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（2， ） . ……………5分

   (3) ∵ 點(diǎn)D、B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng),

       ∴ 的最小值是.

過(guò)K作KF⊥x軸于F點(diǎn).  過(guò)點(diǎn)K作直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,連接KP,交直線AD于點(diǎn)Q,

       ∴ KP⊥AD.

       ∵ AK是∠DAB的角平分線,

∴ .

       ∴的最小值是.即BP的長(zhǎng)是的最小值.

       ∵ BK∥AD,

       ∴ .

       在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.

       ∴的最小值為8.                  ……………8分