為了改善市民的生活環(huán)境,我市在某河濱空地處修建一個(gè)如圖所示的休閑文化廣場(chǎng).在Rt△內(nèi)修建矩形水池,使頂點(diǎn)、在斜邊上,、分別在直角邊、上;又分別以、、為直徑作半圓,它們交出兩彎新月(圖中陰影部分),兩彎新月部分栽植花草;其余空地鋪設(shè)地磚.其中,.設(shè)米,米.
(1)求與之間的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),矩形的面積最大?最大面積是多少?
(3)求兩彎新月(圖中陰影部分)的面積,并求當(dāng)為何值時(shí),矩形的面積等于兩彎新月面積的?
(1)y與x之間的函數(shù)解析式為y=24﹣x(0<x<18);
(2)當(dāng)x=9米時(shí),矩形DEFG的面積最大,最大面積是108平方米;
(3)當(dāng)x為(9±3)米時(shí),矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的.
解析試題分析:(1)先解Rt△ABC,得出AC=12米,BC=36米,∠ABC=30°,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AD=x,BE=x,然后根據(jù)AD+DE+BE=AB,列出y與x之間的關(guān)系式,進(jìn)而求解即可;
(2)先根據(jù)矩形的面積公式得出DEFG的面積=xy,再將(1)中求出的y=24﹣x代入,得出矩形DEFG的面積=xy=﹣x2+24x,然后利用配方法寫(xiě)成頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(3)先證明兩彎新月的面積=△ABC的面積,再根據(jù)三角形的面積公式求出兩彎新月的面積,然后根據(jù)矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的列出關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可求解.
試題解析:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=24米,∠BAC=60°,
∴AC=AB=12米,BC=AC=36米,∠ABC=30°,
∴AD==x,BE==x,
∵AD+DE+BE=AB,
∴x+y+x=24,
∴y=24﹣x﹣x=24﹣x,
即y與x之間的函數(shù)解析式為y=24﹣x(0<x<18);
(2)∵y=24﹣x,
∴矩形DEFG的面積=xy=x(24﹣x)=﹣x2+24x=﹣(x﹣9)2+108,
∴當(dāng)x=9米時(shí),矩形DEFG的面積最大,最大面積是108平方米;
(3)記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S1、S2、S3,兩彎新月面積為S,
則S1=πAC2,S2=πBC2,S3=πAB2,
∵AC2+BC2=AB2,
∴S1+S2=S3,
∴S1+S2﹣S=S3﹣S△ABC,
∴S=S△ABC,
∴兩彎新月的面積S=AC•BC=×12×36=216(平方米).
如果矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的,
那么﹣(x﹣9)2+108=×216,
化簡(jiǎn)整理,得(x﹣9)2=27,
解得x=9±3,符合題意.
所以當(dāng)x為(9±3)米時(shí),矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的.
考點(diǎn):二次函數(shù)的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)當(dāng)α=60°時(shí),求CE的長(zhǎng);
(2)當(dāng)60°<α<90°時(shí),
①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時(shí),求tan∠DCF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上,二次函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合函數(shù)的圖像探索:當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(2,-9).
(1)求該二次函數(shù)的解析式并寫(xiě)出其對(duì)稱軸;
(2)已知點(diǎn)P(2,-2),連結(jié)OP,在x軸上找一點(diǎn)M,使△OPM是等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不寫(xiě)求解過(guò)程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),以點(diǎn)C(1,1)為圓心,2為半徑作圓,交x軸于A、B兩點(diǎn),開(kāi)口向下的拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),且其頂點(diǎn)P在⊙C上。
(1)寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)確定此拋物線的解析式;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在二次函數(shù)中,函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào),本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件元,出廠價(jià)為每件元,每月銷售量(件)與銷售單價(jià)(元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù): .
(1)李明在開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為元,那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?
(2)設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為(元),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?
(3)物價(jià)部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于元.如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于元,那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
拋物線y=-與y軸交于(0,3),
⑴求m的值;
⑵求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo);
⑶當(dāng)x取何值時(shí),拋物線在x軸上方?
⑷當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而增大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
李經(jīng)理在某地以10元/千克的批發(fā)價(jià)收購(gòu)了2 000千克核桃,并借一倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存.在存放過(guò)程中,平均每天有6千克的核桃損耗掉,而且倉(cāng)庫(kù)允許存放時(shí)間最多為60天.若核桃的市場(chǎng)價(jià)格在批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上每天每千克上漲0.5元。
(1)存放x天后,將這批核桃一次性出售,如果這批核桃的銷售總金額為y元,試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果倉(cāng)庫(kù)存放這批核桃每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元,李經(jīng)理要想獲得利潤(rùn)22 500元,需將這批核桃存放多少天后出售?(利潤(rùn)=銷售總金額-收購(gòu)成本-各種費(fèi)用)
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