Question

讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x．

（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)完成下表，并寫出S與x之間的關(guān)系式：S=

1

2

x

．

多邊形的序號(hào)	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5	3	4	…
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x	4	5	6	8	…

（2）探索：在上面網(wǎng)格圖中畫出四個(gè)格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn)，并寫出所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式：S=

1

2

x+1

；
（3）猜想：當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí)，S與x之間的關(guān)系式是：S=

1

2

x+（n-1）．

．

Answer 1

分析：（1）2=4×

1

2

，2.5=5×

1

2

；多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和的一半，即S=

1

2

x；
（2）內(nèi)部有2個(gè)格點(diǎn)就是指圖形的中間有2個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，由此畫圖；并根據(jù)圖找出S與x的關(guān)系．
（3）由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí)，面積為：S=

1

2

x+（n-1）．

解答：解：（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你填寫下表：

多邊形的序號(hào)	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	2	2.5	3	4
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x	4	5	6	8

根據(jù)以上信息，多邊形的面積=各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和的一半，即S=

1

2

x；

（2）如圖所示：

根據(jù)圖可知：
長(zhǎng)方形的面積是6，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是10，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
6=10÷2+1；
三角形的面積是3，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是4，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
3=4÷2+1；
梯形的面積是5，它的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x是8，中間格點(diǎn)數(shù)是2，
5=8÷2+1；
那么S=

1

2

x+1；

（3）通過(guò)上題探究可知：
最后的1就是內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)2-1而得；
所以格點(diǎn)多邊形面積=各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和×

1

2

+（多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)-1）；即：
S=

1

2

x+（n-1）；
故答案為：S=

1

2

x；S=

1

2

x+1；S=

1

2

x+（n-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動(dòng)，需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算．