Question

如圖1，已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，直線MD是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于M、D點．
（1）求線段DC的長度；
（2）如圖2，連接CM，作∠ACB的平分線交DM于N．求證：CM=MN．

Answer 1

（1）解：如圖，連接BD，∵MD是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
設(shè)DC=x，則BD=AD=4-x，
在△ABC中，AC²+BC²=4²+3²=25=AB²，
∴∠C=90°，
在Rt△BCD中，DC²+BC²=BD²，
即x²+3²=（4-x）²，
解得x=，
即DC的長為；

（2）證明：∵M為AB的中點，△ABC是直角三角形，
∴BM=MC，
∴∠B=∠BCM，
∵CN是∠ACB的平分線，
∴∠BCN=45°，
∴∠B=45°+∠1，
在四邊形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°=360°，
∴∠MDC+∠B=180°，
在△CDN中，∠MDC+45°+∠2=180°，
∴∠MDC=135°-∠2，
∴135°-∠2+45°+∠1=180°，
∴∠1=∠2，
∴CM=MN．
分析：（1）連接BD，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，設(shè)DC=x，表示出BD=4-x，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷出∠C=90°，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=MC，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BCM，然后表示出∠B，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠MDC與∠B的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠MDC，然后列方程求出∠1=∠2，根據(jù)等角對等邊即可證明．
點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，等角對等邊的性質(zhì)，（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和定理列式求出兩個角相等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．