Question

如圖1，拋物線C₁：y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為A(1，-

13

4

)，與y軸的負(fù)半軸交于B點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將拋物線C₁向下平移與直線AB相交于C、D兩點(diǎn)，若BC+AD=AB，求平移后的拋物線C₂的解析式；
（3）如圖3在（2）中，設(shè)拋物線C₂與y軸交于G點(diǎn)，頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNG=90°，請你分析實(shí)數(shù)m的變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），然后代入即可求出b和c的值，令x=0，求出此時(shí)的y，即是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；
（2）過A、B兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于H點(diǎn)，過C、D兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點(diǎn)，由（1）有直線AB的解析式為：y=-x-

9

4

，設(shè)C（m，-m-

9

4

），則D（m+2，-m-

17

4

），代入拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，求出即可；
（3）當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的右邊時(shí)，作EM⊥GE交x軸于M點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊時(shí)，作GH⊥EF于H點(diǎn)，則△MNF∽△NGH，利用相似三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式得出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=-

13

4

，其中a=1，
解得：b=-2，c=-

9

4

，
∴拋物線C₁的解析式：y=x²-2x-

9

4

；
令x=0，y=-

9

4

，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-

9

4

）；

（2）過A、B兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于H點(diǎn)，過C、D兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點(diǎn)，
∵BC+AD=AB，∴CD=2AB，
∵AH=BH=1，∴CQ=DQ=2．
設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，
由（1）中A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出：

k+b=- 13 4 b=- 9 4

，
解得：

k=-1 b=- 9 4

，
則直線AB的解析式為：y=-x-

9

4

，
設(shè)C（m，-m-

9

4

），則D（m+2，-m-

17

4

），
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，
∵C、D兩點(diǎn)在拋物線C₂上，
則有：

-m- 9 4 =m2-2m+t -m- 17 4 =(m+2)2-2(m+2)+t

解得：

m=- 1 2 t=-3

，
∴拋物線C₂的解析式為y=x²-2x-3；

（3）由（2）有OF=1，F(xiàn)E=4，OG=3，∴∠GEF=45°，
當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的右邊時(shí)，
作EM⊥GE交x軸于M點(diǎn)，
則∠FEM=45°，
∴FM=EF=4，
∴OM=5，
∴m≤5；
當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊時(shí)，作GH⊥EF于H點(diǎn)，
∵∠MNG=90°，
則△MNF∽△NGH，
∴

MF

NH

=

FN

GH

，
設(shè)FN=n，則NH=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，得：n²-3n-m+1=0，
∴△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
解得：m≥-

5

4

．
∴m的變化范圍是-

5

4

≤m≤5．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．