Question

（2012•貴港）如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是

14

2

．

Answer 1

分析：先由MN=20求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過(guò)點(diǎn)B′作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．

解答：解：∵M(jìn)N=20，
∴⊙O的半徑=10，
連接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
∴OD=

OB2-BD2

=

102-62

=8；
同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，
∴OC=

OA2-AC2

=

102-82

=6，
∴CD=8+6=14，
作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=6，過(guò)點(diǎn)B′作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
在Rt△AB′E中，
∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′=

AE2+B′E2

=

142+142

=14

2

．
故答案為：14

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題、垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．