Question

（2010•賀州）如圖所示，OM是一堵高為2.5米的圍墻截面的高，小明在圍墻內(nèi)投籃，籃球從點(diǎn)A處投出，卻投到了籃球框外，正好打在了斜靠在圍墻上的一根竹竿CD的點(diǎn)B處，籃球經(jīng)過(guò)的路線是二次函數(shù)y=ax²+bx+4圖象的一部分．現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)，垂直于OM的水平線為x軸，OM所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如果籃球不被竹竿擋住，籃球?qū)⑼ㄟ^(guò)圍墻外的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，

7

2

），點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，若tan∠OCM=1．（圍墻的厚度忽略不計(jì)，圍墻內(nèi)外水平面高度一樣）
（1）求竹竿CD所在的直線的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在圍墻外距圍墻底部O點(diǎn)5.5米處有一個(gè)大池塘，如果籃球投出后不被竹竿擋住，籃球會(huì)不會(huì)直接落入池塘？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由tan∠OCM=1，可以得出OM=OC=2.5，可以求出點(diǎn)C點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法久可以求出直線CD的解析式．
（2）由點(diǎn)B和點(diǎn)E關(guān)于二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱就可以求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，從而可以求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）由條件求出拋物線的解析式，再將求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，從而判斷是否可以落入池塘．

解答：解：（1）∵tan∠OCM=1，∴OM=OC=2.5，
∴C、M的坐標(biāo)分別為C（-2.5，0），M（0，2.5）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
則

-2.5k+b=0 b=2.5

，
解之得：

k=1 b=2.5

，
∴直線CD的解析式為y=x+2.5；

（2）∵點(diǎn)B和點(diǎn)E（-3，

7

2

） 關(guān)于此二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱．
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

7

2

．
∵點(diǎn)B在直線CD上
∴x+2.5=

7

2

，
∴x=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，

7

2

）；

（3）∵點(diǎn)B（1，

7

2

），E（-3，

7

2

）是函數(shù)y=ax²+bx+4圖象上的兩點(diǎn)．
∴

a+b+4= 7 2 9a-3b+4= 7 2

，
解之得

a=- 1 6 b=- 1 3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

6

x2-

1

3

x+4．
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

6

x2-

1

3

x+4=0
解之得x₁=4，x₂=-6，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（4，0），（-6，0），
∵點(diǎn)（4，0）在圍墻內(nèi)，點(diǎn)（-6，0）在圍墻外．
且|-6|＞5.5，
∴籃球會(huì)直接落入池塘．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)營(yíng)待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用．